Построим аксонометрическую проекцию точки A, отнесенной к трем взаимно перпендикулярным плоскостям проекций (рис. 1).
Оси координат x, y, z называют натуральными осями координат. Возьмем произвольный масштабный отрезок e (натуральный масштаб) и отложим его на осях, обозначив ex, ey, ez (e=ex=ey=ez).
Спроецируем на картинную плоскость Q параллельными лучами точку A вместе с проекциями a, a', a'', координатными осями и масштабными отрезками ex, ey, ez.
Введем некоторые наименования:
Q - плоскость аксонометрических проекций (картинная плоскость);
l - направление проецирования;
a – угол наклона направления проецирования l к плоскости аксонометрических проекций Q (картинной плоскости);
x1, y1, z1 - аксонометрические оси координат (аксонометрические оси);
Рис. 1
A1 - аксонометрическая проекция точки A;
a1, a1', a1" - вторичные проекции точки A;
ex, ey, ez - масштабные отрезки;
ex1, ey1, ez1 - аксонометрические (вторичные) проекции масштабных отрезков.
В зависимости от положения плоскостей проекций H, V, W, плоскости аксонометрических проекций Q и направления проецирования l координаты точки будут проецироваться с различными искажениями.
Отношение длины аксонометрической проекции масштабного отрезка к его истинной величине называется коэффициентом искажения по оси.
Обозначим эти коэффициенты:
В зависимости от соотношения между коэффициентами искажения по осям различают следующие аксонометрические проекции:
Изометрические, если m = n = k.
Диметрические, если m =k ≠ n или m = n ≠ k.
Триметрические, если m ≠ n ≠ k.
Наименование проекций произошло от древнегреческих слов: «isos» - одинаковый (изометрическая проекция - проекция с одинаковыми коэффициентами искажения по всем трем осям); «di» - двойной (диметрическая проекция - проекция с одинаковыми коэффициентами искажения по двум осям); «treis» - три (триметрическая проекция - проекция с разными коэффициентами искажения по всем трем осям).
В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости аксонометрических проекций Q аксонометрические проекции делятся на прямоугольные, если угол проецирования α = 90º, и косоугольные, если α ≠ 90°.
Доказано, что сумма квадратов коэффициентов искажения удовлетворяет уравнениям:
для косоугольной аксонометрии – m2+n2+k2=2+ctg2a;
для прямоугольной аксонометрии – m2+n2+k2=2.
В зависимости от положения в пространстве осей координат, плоскости аксонометрических проекций и направления проецирования можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга направлением аксонометрических осей и масштабов по ним.
Занимаясь теорией аксонометрии, немецкий геометр К. Польке в 1853 году предложил и доказал для частного случая теорему, названную основной теоремой аксонометрии: «Любые три отрезка, выходящие из одной точки на плоскости, могут быть приняты за параллельные проекции трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков в пространстве». Доказательство этой теоремы в общем виде было дано в 1864 г. другим немецким геометром Г. Шварцем. С этого времени основная теорема аксонометрии стала называться теоремой Польке - Шварца.
Из рассмотренного выше можно вывести определение аксонометрии:
Аксонометрией называется изображение предмета на плоскости, отнесенное к определенной системе координат и выполненное в определенном масштабе с учетом коэффициентов искажения.
...
